2011年5月7日 星期六

關於數學的回憶跟碎碎念

因為講到數學,又想到很多以前的事情。
這篇是很純粹的回憶跟碎碎念文。

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我還記得那時候高中教微積分,數學老師信誓旦旦的說:
「你們讀二類組的,上了大學都還是會有數學課,所以數學一定要好好學」
結果我讀長庚大學,
正巧我入學那一年開始,系上微積分從必修變選修,結果就是沒人修XD
等於從大學開始,除了基本加減乘除,就沒有任何機會再碰到數學解題。

喜歡數學是小學三年級開始的。當時的導師很疼我。
我永遠記得那時候上課解的一個題目:怎麼算十字圖形的面積?
老師拿了兩個長方形的紙,讓我們想可以怎麼解。
相疊、扣掉中間,或是切成四個小矩形加一個正方形。
小學解的題目大概就是這樣,算面積、算體積,怎麼拼才不會漏掉或多算。
我覺得數學超好玩的。

老師的名字、樣子我都還記得,姓施,瘦瘦的,短卷髮。
教我們的時候,她已經做阿嬤了。
當時跟其他的老師相比,她看起來有點年紀,
好久了,現在也應該至少六十歲吧,說不定七十幾接近八十。

五年級的時候搬家轉學,換了老師。
當時國小很流行老師自己開的課後補習。
我記得那時候三四年級有去補。
但是轉學之後就沒有在新學校跟新老師補。
外加後來跟新老師之間有發生一些事情,關係並不好。
在很久很久以後,我對那時候的功課怎樣,一直沒有什麼印象。
一直到有一天大掃除從書櫃底下掃出一張陳年成績單。
才發現那時候的成績很差。

現在回想,我四年級以前跟五年級以後,在班上給同學的印象是差很多的。
四年級以前比較活潑,成績不錯。五年級以後比較悶,成績不怎樣。

可是我一直有印象,就是當時解一些比較難的數學題目的時候,
老師很愛問「有誰答對?」,每次當班上答對的人很少的時候,
我跟一個一樣沒補習的同學,姓熊。每次都會舉手。
然後老師的表情就會很複雜。
這大概是當時覺得唯一有成就感的事情。

國中的印象就是很兇的數學老師XD
到國三的時候還變成班導師。
那時候班上有幾個男生會互相嗆說什麼題目有沒有解出來,
沒解出來的就會被嗆說很遜。
他們不會嗆女生,但是我覺得聽他們在解什麼題目,跟著解很好玩。
那時候去問老師數學題目,有幾次甚至心理是有點帶挑釁的心態,
覺得想試看看有沒有老師解不出來的題目,不過沒問倒老師過。
現在想想那時候會那樣想真的很囂張:p

後來去參加推薦甄試,上了明德。一直在考慮要去明德還是參加聯考。
當時可以說是自己、學校、跟家裡意見的拉鋸。
家裡覺得明德可以住校好,不用那麼辛苦通車上下學。
在學校成績雖然不是最好,但也還算前段,老師們希望我可以去考聯考。

其實那時候一開始我很想考聯考。
外加老媽一直講去明德,本來就很不喜歡一直被講,就還滿抗拒的。

可是後來為什麼會選明德呢?
我也忘了,不過我記得那時候哥哥有跟我講一句話:
「我知道媽媽這樣講,你會很想跟他唱反調,但是...」
但是後來詳細怎麼講也忘了,
不過大致上就是有講到要我自己好好想想,不要為反對而反對。

我在想,當時如果我真的非常堅持要去考。家裡應該也會讓我去。
但也許那時候我也沒有真的那麼堅持,
在某部分有被家裡說服只是不想承認,這點是被哥哥講中了沒錯。

老師覺得我這樣選很可惜。
然後那時候有晚自習,我還是都有去。
我記得有一個晚上,也是在解一題很難的題目,老師也問說答對的舉手。
結果不到五個人裡面我也有舉。
然後,老師的表情一樣很複雜:p
據理化老師轉述,導師很搥心肝XD

好幾年後,老媽有問過我會不會後悔去念明德沒考聯考。
我說,現在想不會這樣覺得。當時可能覺得有點可惜。

在明德遇到的數學老師也都很好。
數理實驗班的時候是張老師,分二類組之後是黃老師。
兩個老師都教的很好。
不過那時候跟老師的互動就沒有什麼特別有趣的回憶了:p
高中算是平平穩穩、快快樂樂的度過。

倒是當時有一件事情很耿耿於懷。
那時候學校有性向測驗,測驗看你在各方面的能力分布。
有一項是數學,一個在文組的同學考了99,我考了85。
但是那個文組同學常常問我數學,而且她對數學的理解真的比較弱。
會考很高是因為那個數學考的全是四則運算,
而那個同學學過珠算,心算速度非常快。

其實這只是參考而已,但是那時候超在意的:p
不過我沒有跟那個同學說過,只是心理覺得「這測驗根本不準嘛!」

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我不是那種會主動去找數學題目來算的人。
可是我很喜歡數學,一直都很喜歡。
即便不用考試了,還是喜歡。
被動看到數學題目的時候,就會拿紙筆算算看。
我算數速度不快,可是覺得解題很有趣。
解應用題跟寫申論證明題是最好玩的。

國中的時候,因為考試的壓力,
每次考申論證明題大家都考的很爛,
所以老師曾經要我們申論證明題用背的。
後來大概是老師也改的很痛苦很難改最後沒維持XD

但是那時候我覺得申論證明題用背的一點道理都沒有。
對於要用背的這件事情非常抗拒。覺得還是想照自己想的寫。

學數學,其實不是為了解題跟運算的啊。是為了學邏輯的。
學思考的邏輯、學題目的分解組合、學理論的歸納演繹。
先乘除後加減。可是為什麼?
因為乘是把數字連加成總和的意思。除是把除號前一個數字做分割的意思,
有這樣的定義,所以跟加減號混合時所以要優先做。
所有的原理,都是有了初始的定義後,再開始去推導的。
學推導的過程就是在學邏輯。

思考的過程怎麼推演,比推演的結果還重要。

我離數學解題很久很久了。
我不記得「庭院身深深幾許」要算這些字有幾種排列組合的公式是什麼。
但我記得他的原理,要把每個字都排排站跟大家配對,配對完之後再減掉重複的。
我不記得微積分怎麼算了,但我記得微分算的是斜率、積分算的是面積。

我一直覺得,教懂定義、教懂原理、教懂思考流程。比教會算數還重要。
但是當大家只看結果的時候,老師與學生就都只能跟著被扭曲了。
因為被扭曲了,就只把重點放在結果的對錯,各執己見。
而不是坐下來聽聽對方的說法,試著去理解、找到歧見產生的原因。

扯遠了。
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知道為什麼2(x+y)跟2*(x+y)意義不同嗎?
想像一個漢堡,漢堡裡夾了酸菜、小黃瓜、芥末、雞肉。
2*(x+y)好比這些材料還放在廚房裡準備但還沒組合起來
2(x+y)好比他們已經組成一個漢堡了。
你絕對不會說做好的漢堡,
跟分開的麵包、酸菜、小黃瓜、芥末、雞肉是同一個東西。
後者加起來會變成前者沒錯。
但是他們代表的是不一樣的狀態。
你可能會把還沒做成漢堡的小黃瓜拿去做沙拉,
但是不會把已經夾在漢堡裡面的小黃瓜抽出去做沙拉。
除非一時發現材料不夠。

但是數學沒有材料不夠的問題。

2011年5月6日 星期五

再論6÷2(1+2)

為了那個新聞,不但寫了文章,還跟兩個人花很多時間解釋為甚麼會算成1,
我想我也夠無聊的了...

從這件事情可以很明顯的感覺到,對於數學的小執念真的一直都在。
那種執念沒有強到有熱情會沒事去解微積分題,但是看到數學題就會想解解看。

還有,會想把運算邏輯解釋清楚。

然後,我以為用6÷2(x+y)跟6÷2*(x+y)這例子應該很清楚。
結果沒想到網路上看到有人這樣寫「6÷2(x+y)不是等於3(x+y)嗎?」
好吧...難怪我在FB上解釋會鬼打牆.....
會這樣說的,表示不知道代數2(x+y)跟2*(x+y)的意義大不同。
先解這兩個

6÷2(x+y)=6÷(2x+2y)=6/(2x+2y)
6÷2*(x+y)=3*(x+y)=3x+3y

為甚麼會有這兩者的不同?
原因是2(x+y)來自於2x+2y,因為x跟y有相同的系數2,所以可以寫成2(x+y)
因為2(x+y)的寫法是由2x+2y變過來的。
因此在運算時,要把2(x+y)視為(2x+2y),是一個已經先運算完畢的式子。
所以在運算的時候,不管2前面的符號是甚麼,2就是一定要跟(x+y)一起。
請注意,2(x+y)不是2*(x+y)的簡寫
2(x+y)是代表我已經算完(2x+2y)然後把他寫成2(x+y)
在代數運算裡,有沒有*意義大不同。
我們把式子再修改一下,把(x+y)用z代替,
式子會變成6÷2z跟6÷2*z,看出差異了嗎?
前者2z是單一數字,後者2跟z是分開的。
這個部份如果看不懂,底下也不用看了,
對上面的式子有疑問,請回去問數學老師。

然後我們把6÷2(1+2)全部改成代數。
假設6=x,2=y,1=z,
式子會變成x÷y(z+y),照代數的寫法,
x÷y(z+y)=x÷(yz+yy)=x/(yz+yy)
照數字帶進去,答案是1

如果算式的寫法是x÷y*(z+y)
x÷y*(z+y)=(x÷y)*(z+y)=x(z+y)/y
照數字帶進去,答案是9

在代數裡面,除非兩個相乘的數值都用括號括住先做運算,
像是(x+y)(a+b),乘號才可以省略。
如果是x(a+b)的寫法,則x是(a+b)的係數,而不代表省略乘號。

為甚麼變成數字就會有爭議?
假如有數字被括號括住的時候,相乘的話乘號可以省略。
像是(1+2)(2+3)意思等同於(1+2)*(2+3)
那2(1+2),到底應該看成還沒算完的2*(1+2)?
還是應該看成已經算完(2*1+2*2)呢?
如果2沒有要跟(1+2)先乘起來,這樣的乘號可以省略嗎?
恩,說真的我還真沒思考過這個問題。
起碼我不會把1x2x3寫成(1)(2)(3),
但是我會把(1+1)x(2+2)寫成(1+1)(2+2)

所以題目這樣出,會有題意上的爭議。
抱持著代數算法者,算出來就是1,
抱持著是乘號省略寫法者,算出來就是9。
所以為甚麼有教授說題目這樣出題意不清。
原因在此。

把算成1的人貶成國小數學都不懂得,也許讓你很有成就感。
但我想最重要的,應該是去瞭解到底這個推導過程是甚麼。

2011年5月5日 星期四

6÷2(1+2)等於多少?

最近很夯的數學題。之前我是算1。
結果新聞記者說是9,還說找數學老師來算說括號算完就要從左算到右,6÷2*(1+2)所以是9

我一直在想到底是哪裡怪怪的。
其實這個問題出在
2(1+2)是否等於2*(1+2)
雖然單獨來看,左右邊的數值相同。但是他們在意義上卻是不一樣的。

我們拿2*y=2y來說明。
在算式上,2*y=2y沒錯。
但是在數學意義上,2*y跟2y的意義是不同的。
2*y表示兩個單一的y相加2乘以Y,2跟Y是兩個分開的數字。
2y表示這個數字的總和是2倍的y,是已經運算完畢的一個數字
只是當兩個單一的y相加,結果是2倍的y,所以中間我們畫等號。
他們是數學運算結果上的相等,而非意義上的相等。

在數學裡面2(x+y)是(2*x+2*y)的縮寫,並不是乘號的省略。
所以2(x+y)是一整組的數字。不管他前後加減乘除了什麼數字,這一組一定是一起先算完。
2*(x+y)雖然計算結果與2(x+y)相同,但是在數學意義上卻不同。
2*(x+y)裡面的2跟(x+y)是獨立的數字,
2(x+y)的2是x與y共同的倍數所以可以被抽出來寫外面,他們是已經運算完畢的一個數字。
因此6÷2(1+2)與6÷2*(1+2)數學意義不同,結果自然不同。

問題的癥結點在於當初寫這個題目的人,
是把2(1+2)當成是2*(1+2)的簡寫。
還是把2(1+2)裡面的2當成是(1+2)的係數。
數學式的表達應該要清楚,
這種寫法在代數裡面不會有表達不清的問題,
因為代數裡的2(x+y)跟2*(x+y)是不同的。
可是全部帶入數字的時候。
的確有人會把乘號省略而寫成2(1+2),
這時候就會產生2(1+2)到底是2*(1+2)的縮寫,還是2是(1+2)的係數的爭議。
要說是縮寫也沒錯,要從代數的角度解釋為係數也可以。
假如這是考試題的話,應該要避免2(1+2)的寫法。

網路上有擁1跟擁9的人,搞到後來好像變成信徒對抗...
我覺得這其實沒有那麼複雜,簡單來說就是語意表達的問題。
應該是彼此了解對方的運算邏輯,才會了解這樣的寫法其實並不是很適合。

坦白講,我覺得這個思辨過程是一個很好的訓練。
重點不在於對錯,而是了解彼此的運算邏輯、了解語意不明會造成的爭議。
說運算邏輯訓練不足倒是言重了。
數學是抽象思考的工具,重點在於思考為什麼。
思考誤解背後的原因,也是訓練獨立思考的一種方法吧!