2011年5月6日 星期五

再論6÷2(1+2)

為了那個新聞,不但寫了文章,還跟兩個人花很多時間解釋為甚麼會算成1,
我想我也夠無聊的了...

從這件事情可以很明顯的感覺到,對於數學的小執念真的一直都在。
那種執念沒有強到有熱情會沒事去解微積分題,但是看到數學題就會想解解看。

還有,會想把運算邏輯解釋清楚。

然後,我以為用6÷2(x+y)跟6÷2*(x+y)這例子應該很清楚。
結果沒想到網路上看到有人這樣寫「6÷2(x+y)不是等於3(x+y)嗎?」
好吧...難怪我在FB上解釋會鬼打牆.....
會這樣說的,表示不知道代數2(x+y)跟2*(x+y)的意義大不同。
先解這兩個

6÷2(x+y)=6÷(2x+2y)=6/(2x+2y)
6÷2*(x+y)=3*(x+y)=3x+3y

為甚麼會有這兩者的不同?
原因是2(x+y)來自於2x+2y,因為x跟y有相同的系數2,所以可以寫成2(x+y)
因為2(x+y)的寫法是由2x+2y變過來的。
因此在運算時,要把2(x+y)視為(2x+2y),是一個已經先運算完畢的式子。
所以在運算的時候,不管2前面的符號是甚麼,2就是一定要跟(x+y)一起。
請注意,2(x+y)不是2*(x+y)的簡寫
2(x+y)是代表我已經算完(2x+2y)然後把他寫成2(x+y)
在代數運算裡,有沒有*意義大不同。
我們把式子再修改一下,把(x+y)用z代替,
式子會變成6÷2z跟6÷2*z,看出差異了嗎?
前者2z是單一數字,後者2跟z是分開的。
這個部份如果看不懂,底下也不用看了,
對上面的式子有疑問,請回去問數學老師。

然後我們把6÷2(1+2)全部改成代數。
假設6=x,2=y,1=z,
式子會變成x÷y(z+y),照代數的寫法,
x÷y(z+y)=x÷(yz+yy)=x/(yz+yy)
照數字帶進去,答案是1

如果算式的寫法是x÷y*(z+y)
x÷y*(z+y)=(x÷y)*(z+y)=x(z+y)/y
照數字帶進去,答案是9

在代數裡面,除非兩個相乘的數值都用括號括住先做運算,
像是(x+y)(a+b),乘號才可以省略。
如果是x(a+b)的寫法,則x是(a+b)的係數,而不代表省略乘號。

為甚麼變成數字就會有爭議?
假如有數字被括號括住的時候,相乘的話乘號可以省略。
像是(1+2)(2+3)意思等同於(1+2)*(2+3)
那2(1+2),到底應該看成還沒算完的2*(1+2)?
還是應該看成已經算完(2*1+2*2)呢?
如果2沒有要跟(1+2)先乘起來,這樣的乘號可以省略嗎?
恩,說真的我還真沒思考過這個問題。
起碼我不會把1x2x3寫成(1)(2)(3),
但是我會把(1+1)x(2+2)寫成(1+1)(2+2)

所以題目這樣出,會有題意上的爭議。
抱持著代數算法者,算出來就是1,
抱持著是乘號省略寫法者,算出來就是9。
所以為甚麼有教授說題目這樣出題意不清。
原因在此。

把算成1的人貶成國小數學都不懂得,也許讓你很有成就感。
但我想最重要的,應該是去瞭解到底這個推導過程是甚麼。

2 則留言:

  1. 唉!妳國中的數學老師在此受益匪淺~推一個@@

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